Las variaciones
Empezaremos a explicar las variaciones con un ejemplo:
¿Cuántos grupos de dos colores se pueden conseguir con 4 colores: rojo, amarillo verde y azul?
Sería hacer parejas de dos colores de los cuatro que posibles que hemos mencionado.
Las variaciones ordinarias o variaciones sin repetición, de m elementos tomados de n en n, serían los diferentes grupos que se pueden formar con ellos, de tal manera que en cada grupo entren n elementos distintos y que un grupo se diferencia de los demás, o porque alguno de los elementos es distinto o porque el orden de colocación de los mismos es diferente.
Siguiendo el ejemplo anterior tendriamos:
| rojo y verde | rojo y azul | rojo y amarillo |
| verde y rojo | verde y azul | verde y amarillo |
| azul y rojo | azul y verde | azul y amarillo |
| amarillo y rojo | amarillo y verde | amarillo y azul |
Vemos que los grupos o se diferencian en un elemento o si los dos elementos son los mismos se diferencian en el orden. Esto son variaciones ordinarias o sin repetición.
Si son variaciones de m elementos tomados de n en n. Se representa así: Vm,n.
Podemos tener:
Variaciones monarias cuando solo se crean variaciones de un elemento, es decir, elemento a elemento.
En el caso de variaciones monarias, salen tantas variaciones como elementos existen.
Así por ejemplo, tenemos: V4,1 = 4. ¿Por qué?
Porque si tenemos cuatro colores o cuatro números y solo formamos variaciones de un elemento solo pueden ser las mismas variaciones que elementos son.
Si son cuatro colores: rojo verde, azul y amarillo. Solo podemos tener cuatro variaciones monarias posibles:
rojo, verde, azul y amarillo.
Si son cuatro números: 1,2,3,4, solo podemos tener cuatro variaciones monarias posibles:
1,2,3 y 4.
También podemos tener variaciones binarias si se forman grupos de dos elementos, ternarias si se forman grupos de tres elementos, cuaternarias si se forman grupos de cuatro elementos,… quinarias, senarias, heptales, octales, etc.
En general, para saber cuantas variaciones ordinarias se pueden formar a partir de un número determinado de elementos con el que queremos formar grupos de n elementos, tendremos que realizar la multiplicación que tendrá tantos factores como el número de elementos que tendrá ese grupo, es decir, n, siendo uno de los factores el número determinado de elementos y los otros factores iran reduciéndose en una unidad hasta conformar tantos factores como elementos del grupo, es decir, tantos factores como n.
Ejemplo: V5,3
Eso quiere decir que queremos hacer todas las variaciones ordinarias posibles de tres elementos, teniendo 5 posibles elementos.
Por ejemplo si tuvieramos 5 sabores: fresa, menta, naranja, limón y frambuesa y quisieramos ver cuantas variaciones de tres elementos formamos con esos 5 elementos, el cálculo sería el siguiente:
V5,3 = 5 x 4 x 3 = 60 variaciones posibles
Otros ejemplos:
V8,4 = 8 x 7 x 6 x 5 =1.680
V9,5 = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15.120
V9,2 = 9 x 8 = 72
Vamos a ver este último ejemplo representado.
A partir de 9 elementos tenemos que hacer todos los grupos posibles de 2 elementos. Supongamos que los 9 elementos son los números del 1 al 9. Entonces tenemos las siguientes posibles variaciones:
| 9,8 | 9,7 | 9,6 | 9,5 | 9,4 | 9,3 | 9,2 | 9,1 | 8,7 |
| 8,9 | 7,9 | 6,9 | 5,9 | 4,9 | 3,9 | 2,9 | 1,9 | 7,8 |
| 8,6 | 8,5 | 8,4 | 8,3 | 8,2 | 8,1 | 7,6 | 7,5 | 7,4 |
| 6,8 | 5,8 | 4,8 | 3,8 | 2,8 | 1,8 | 6,7 | 5,7 | 4,7 |
| 7,3 | 7,2 | 7,1 | 6,5 | 6,4 | 6,3 | 6,2 | 6,1 | 5,4 |
| 3,7 | 2,7 | 1,7 | 5,6 | 4,6 | 3,6 | 2,6 | 1,6 | 4,5 |
| 5,3 | 5,2 | 5,1 | 4,3 | 4,2 | 4,1 | 3,2 | 3,1 | 2,1 |
| 3,5 | 2,5 | 1,5 | 3,4 | 2,4 | 1,4 | 2,3 | 1,3 | 1,2 |